科研動(dòng)態(tài)
用于SP測(cè)井分析問(wèn)題的自適應(yīng)形狀參數(shù)RPIM方法和基準(zhǔn)
中文題目：用于SP測(cè)井分析問(wèn)題的自適應(yīng)形狀參數(shù)RPIM方法和基準(zhǔn)
論文題目：Adaptive Shape Parameter RPIM for SP Log Analysis: Methods and Benchmarks
錄用期刊/會(huì)議：IEEE Transactions on Geoscience and Remote Sensing (JCR Q1, TOP)
原文DOI：10.1109/TGRS.2023.3348105
原文鏈接：https://ieeexplore.ieee.org/document/10376191
作者列表：
1） 李 洋 中國(guó)石油大學(xué)（北京）信息科學(xué)與工程學(xué)院/人工智能學(xué)院 控制科學(xué)與工程 博 20
2） 劉得軍 中國(guó)石油大學(xué)（北京）信息科學(xué)與工程學(xué)院/人工智能學(xué)院 電子信息工程系 教授
3） 周 昊 中國(guó)石油大學(xué)（北京）信息科學(xué)與工程學(xué)院/人工智能學(xué)院 信息與通信工程 碩 22
4） 陳 韻 中國(guó)石油大學(xué)（北京）信息科學(xué)與工程學(xué)院/人工智能學(xué)院 控制科學(xué)與工程 博 21
5） 于笑洋 中國(guó)石油大學(xué)（北京）信息科學(xué)與工程學(xué)院/人工智能學(xué)院 信息與通信工程 碩 22
本文討論了一種全新通用自適應(yīng)無(wú)網(wǎng)格方法用于計(jì)算模擬奇異自發(fā)電位測(cè)井問(wèn)題的嘗試。該方法由本團(tuán)隊(duì)首次設(shè)計(jì)提出并被命名為自適應(yīng)整體形狀參數(shù)“c”徑向基點(diǎn)插值法（OC-RPIM），其采用孿生矩陣新型誤差評(píng)估策略，基于局部誤差評(píng)估指標(biāo)，實(shí)現(xiàn)了自適應(yīng)c算法的架構(gòu)。該方法在不修改離散點(diǎn)配置和多項(xiàng)式階數(shù)的情況下具有優(yōu)異的穩(wěn)定性和準(zhǔn)確性。此外，處理含奇點(diǎn)問(wèn)題也更容易。研究討論了當(dāng)OC-RPIM算法應(yīng)用于SP仿真問(wèn)題時(shí)該架構(gòu)的通用性和優(yōu)越性。分析了不同地層條件下SP模擬曲線(xiàn)c的特征規(guī)律。該方法為計(jì)算大地電磁學(xué)（Geo-EM）中的自適應(yīng)求解算法提供了新的視角。文中所提出的 OC-RPIM 代碼已經(jīng)開(kāi)源。
SP測(cè)井是Geo-EM的重要技術(shù)之一，由于地層介質(zhì)的電特性差異，流經(jīng)地層的電流在不同區(qū)域會(huì)產(chǎn)生不同的電位分布狀態(tài)；另外，不同的地層本身也會(huì)形成自然電位差。造成這種現(xiàn)象的原因是由于地層中離子遷移速率不同以及基巖對(duì)電離子的各異性吸附特性，基于上述性質(zhì)，研究人員可以通過(guò)檢測(cè)井壁電位分布來(lái)了解地層變化，該方法實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單，已成為常用的測(cè)井方法。為了有效解釋測(cè)井曲線(xiàn)，地層巖石電響應(yīng)的理論分析是必不可少的一步，避免了高昂的成本和成本。井下實(shí)驗(yàn)手段潛在的額外風(fēng)險(xiǎn)，與標(biāo)準(zhǔn)解的推導(dǎo)相比，能夠處理復(fù)雜問(wèn)題的EM數(shù)值計(jì)算方法更傾向于在這一步進(jìn)行處理。對(duì)稱(chēng)的空間結(jié)構(gòu)和多電介質(zhì)條件使SP仿真模型成為地電磁勘探模擬問(wèn)題的典型代表。
考慮連續(xù)區(qū)域，可以通過(guò)連續(xù)區(qū)域中有限數(shù)量的數(shù)據(jù)點(diǎn)X={x1, x2, ..., xm}和該點(diǎn)的對(duì)應(yīng)值u={u1, u2, ..., um}來(lái)獲得解析解的近似。 基于這一思想提出了點(diǎn)配置無(wú)網(wǎng)格方法。 假設(shè)u已知，插值關(guān)系可以寫(xiě)為(1)，其中(2)是基于RBF得到的插值矩陣。
求解式(2)即可得到插值系數(shù)α={α1, α2, ..., αm}。 一般來(lái)說(shuō)，添加有限數(shù)量的多項(xiàng)式可以提高有限點(diǎn)條件下逼近全局函數(shù)的能力。 因此，我們將一階多項(xiàng)式相加，其中β={β1, β2, ..., βm}是附加多項(xiàng)式系數(shù)。
出現(xiàn)的附加變量需要相同數(shù)量的插值點(diǎn)來(lái)維持插值過(guò)程?？刹捎孟铝蟹绞骄S持變量不變，式(2)左邊定義的RBF矩陣A是正定的。將附加多項(xiàng)式的插值修改為多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題
，其中
的矩陣閉合表達(dá)式為(4)。
P可通過(guò)將點(diǎn)集代入多項(xiàng)式得到，其過(guò)程類(lèi)似于式（2）中的構(gòu)造A，其中
。定義內(nèi)積的雙線(xiàn)性形式如（5）所示。
對(duì)于局部域而言需要滿(mǎn)足公式（6），其中
是以目標(biāo)點(diǎn)為原點(diǎn)的局部笛卡爾坐標(biāo)。 
是將 帶入基函數(shù)的計(jì)算結(jié)果，是1x(m+n)的常數(shù)矩陣。
基于公式（6）可獲得局部散點(diǎn)與整體求解空間的關(guān)系。
1. SP測(cè)井問(wèn)題的仿真模型描述
考慮SP不隨時(shí)間變化的穩(wěn)態(tài)情況，解空間符合式（7）和（8）所示的安培控制方程。
由于SP的存在，各個(gè)介質(zhì)界面處的電勢(shì)差對(duì)應(yīng)于
的下標(biāo)數(shù)，其中圖中的加號(hào)和減號(hào)表示電勢(shì)從邊界的負(fù)號(hào)側(cè)向正號(hào)側(cè)增加。 結(jié)合邊界條件，該問(wèn)題可概括為階躍不連續(xù)邊值問(wèn)題，如式（9）所示。 通過(guò)上述解空間的約束，可以得到不同地層條件下的空間場(chǎng)分布。
2. 自適應(yīng)OC-RPIM算法流程
基于給出的解空間方程以及邊界約束，可采用OC-RPIM算法，進(jìn)行求解，其流程如下圖所示，為便于比較該算法的優(yōu)勢(shì)，在下圖中還給出了h自適應(yīng)有限元法的算法流程，該算法是目前最為常用的自適應(yīng)數(shù)值求解方法。
OC-RPIM的優(yōu)化準(zhǔn)則采用本團(tuán)隊(duì)所提出的誤差估計(jì)方法。得益于FEM泛函形成原理類(lèi)似于擬合過(guò)程，F(xiàn)EM的的估計(jì)誤差準(zhǔn)則可采用擬合過(guò)程中計(jì)算所獲得的殘差。其離散單元可以根據(jù)空間殘差分布進(jìn)行自適應(yīng)細(xì)化。為了便于討論，迭代次數(shù)設(shè)置為固定值。 下圖給出了兩種方法多次迭代后真實(shí)誤差曲線(xiàn)及其相應(yīng)誤差評(píng)價(jià)指標(biāo)的變化情況。這里使用一階有限元法。高階有限元的計(jì)算結(jié)果可以在本研究附帶的數(shù)據(jù)庫(kù)中找到，其鏈接可以在本研究的末尾找到。因?yàn)楦唠A有限元在這個(gè)問(wèn)題上的結(jié)果更差?？梢钥闯?，h-FEM 無(wú)效，自適應(yīng)單元細(xì)化導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果更差。OC-RPIM可以快速將精度提高到穩(wěn)定水平。
(a) (b)
Fig. (a) h-FEM iteration two-norm error curve; (b) OC-RPIM iteration two-norm error curve
此外，我們將OC-RPIM算法的計(jì)算結(jié)果與目前常用的形狀參數(shù)c選擇準(zhǔn)則下的無(wú)網(wǎng)格方法進(jìn)行了比較，通過(guò)對(duì)比發(fā)現(xiàn)，該算法始終可以c的數(shù)值穩(wěn)定在合理范圍內(nèi)，而常用的c選擇準(zhǔn)則非常容易失效。
(a) (b)
Fig. Effect of shape parameter c on solution error. (a): 2-norm error; (b): maximum error
(a) (b) (c) (d)
Fig. . The model solution under the optimal shape parameter c condition. (a):c=0.3 normalized vector potential; (b):c=0.3 field intensity distribution;(c):c=0.8 normalized vector potential; (d):c=0.8 field intensity distribution
結(jié)論:
由于RPIM算法不需要結(jié)構(gòu)化的網(wǎng)格單元，所以該方法在Geo-EM正演中具有顯著的優(yōu)勢(shì)。 與FEM相比，這種方法更容易處理具有奇點(diǎn)的問(wèn)題。 但我們通過(guò)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)該方法對(duì)形狀參數(shù) c 有很強(qiáng)的依賴(lài)性。 對(duì)于復(fù)雜的問(wèn)題，更平坦的RBF并不一定有更好的效果。 因此，本文提出一種改進(jìn)的OC-RPIM用于SP測(cè)井問(wèn)題模擬，并在其中加入自適應(yīng)形狀參數(shù)c選擇算法來(lái)解決形狀參數(shù)敏感性問(wèn)題。 實(shí)驗(yàn)證明OC-RPIM方法在SP測(cè)井模擬中具有較好的精度和穩(wěn)定性。 本文基于該方法簡(jiǎn)單模擬了地層導(dǎo)流能力對(duì)SP曲線(xiàn)的影響，得出的結(jié)論與測(cè)井解釋結(jié)論一致。 此外，我們?cè)谘芯窟^(guò)程中還跟蹤研究了SP測(cè)井中形狀參數(shù)c的相關(guān)變化行為。 發(fā)現(xiàn)形狀參數(shù)c的選擇可能與問(wèn)題求解的順利程度有關(guān)。 奇點(diǎn)的存在也會(huì)影響形狀參數(shù)c的選擇。 形狀參數(shù)c的規(guī)律行為仍不清楚，但不可否認(rèn)的是OC-RPIM非常有效的。 在后續(xù)研究工作中，我們嘗試將該方法擴(kuò)展到更多的Geo-EM模擬問(wèn)題，包括時(shí)域問(wèn)題的求解，并進(jìn)一步研究形狀參數(shù)c的復(fù)雜機(jī)制和與問(wèn)題類(lèi)型的關(guān)系。本研究的開(kāi)源程序已上傳于IEEE DataTort：10.21227/ZRWM-WN29。
劉得軍，教授，中國(guó)石油大學(xué)（北京）信息科學(xué)與工程學(xué)院/人工智能學(xué)院電子信息工程系，博士生導(dǎo)師。研究方向：電磁測(cè)量方法與數(shù)值模擬技術(shù)、電纜高速數(shù)據(jù)傳輸理論與技術(shù)、機(jī)電測(cè)量系統(tǒng)虛擬樣機(jī)設(shè)計(jì)等?？傆?jì)發(fā)表科學(xué)論文150余篇。
聯(lián)系方式：[email protected]